평균과 적률생성함수의 관계(2)

개인적으로 이해한 내용을 정리한 부분이라서 틀린 내용이 포함될 수 있음을 양해해 주시기 바랍니다.
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이전 시간에 이어서 포아송분포의 평균을 구하는 것을 알아보자. 포아송분포의 기댓값의 정의를 보자.

가 된다. 이전 시간에 보았던 전개과정을 생각해보자. 일단 우리는 x를 지우는 방향으로 식을 전개해보자.

가 된다. 이제 이를 다시 포아송 분포로 꼴이 되도록 만들어 보자.

위의 수식에서 x-1=k 로 놓으면,

다시 포아송분포가 된다(왜 k=-1이 아니어도 되는지는 이전 시간에 다루었다). 모든 확률분포의 전체 합은 1이 되기 때문에

가 된다.

 

 

이제 포아송분포의 mgf에 대해서 알아보자.

에 대해서 풀자. 일단 x와 관계 없는 부분을 밖으로 빼내어

를 만들 수 있다. 그리고 테일러전개에 의해서(팩토리얼과 시그마가 있으면 한 번쯤 생각해 볼법한 접근방법)

가 된다(이전 내용에서 다룸). 즉,

가 된다. 이를 t에 대해서 미분하면,

t=0을 대입하면,

가 된다.  

 

 

이제 분산을 구해보자. 이번에도 역시 기존에 사용하던 아이디어를 적용할 것이다.

에서 이전과 같이 x를 지워줄 것이다.

이제 다시 포아송분포의 꼴을 맞춰줄 것이다.

이를 풀어서 확인하면,

가 됨을 알 수 있다(이때, x-1 =k로 둔다).

의 성질을 이용하자. 이제 이를 이용하여

임을 이용해서

임을 확인하였다.